Question

17．已知集合A，B满足A∪B={1，2，3，…，8}，A∩B=∅且A≠∅．若A中元素的个数不是A中的元素，B中元素的个数不是B中的元素，则满足条件的所有不同的集合A的个数为44．

Answer 1

分析 分别就集合A中含有1，2，3，4，5，6，7，8个元素逐一分析，求和后得答案．

解答 解：如果A中有一个元素，那么1不在A中，A={2}，{3}，{4}，{5}，{6}，{7}，{8}，
当A={2}，{3}，{4}，{5}，{6}，{8}，时，B中要有7个元素，必含有元素7，与题意不符，
∴A={7}，B={1，2，3，4，5，6，8}；
若A中有2个元素，那么2不在A中，6在A中，从1，3，4，5，8中任取一个共6中取法；
若A中有3个元素，那么3不在A中，5在A中，从1，2，4，6，7，8中任取2个元素共${C}_{6}^{2}$=15种取法；
若A中有4个元素，那么4不在A中，4也不在B中，与A∪B={1，2，3，…，8}矛盾；
若A中有5个元素，那么5不在A中，3在A中，从1，2，4，6，7，8中任取4个元素共${C}_{6}^{4}$=15种取法；
若A中有6个元素，那么6不在A中，2在A中，从1，3，4，5，7，8中任取5个元素共${C}_{6}^{5}$=6种取法；
若A中有7个元素，那么7不在A中，3在A中，从1，2，4，5，6，8中任取6个元素共1种取法；
若A中有8个元素，那么8不在A中，该种情况不存在．
综上，满足条件的所有不同的集合A的个数为44个．
故答案为：44．

点评 本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键，属于难题．