Question

17．已知函数f（x）=|2a-x|（a∈R）．
（1）当a=2时，解不等式f（x）＞6-|3x-2|；
（2）若对?∈R，f（x）+x＞5恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，不等式f（x）＞6-|3x-2|可化为|x-4|+|3x-2|＞6，分类讨论，即可解不等式；
（2）若对?∈R，f（x）+x＞5恒成立，求出左边的最小值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=2时，不等式f（x）＞6-|3x-2|可化为|x-4|+|3x-2|＞6．
x＜$\frac{2}{3}$时，不等式为4-x+2-3x＞6，即x＜0，∴x＜0；
$\frac{2}{3}$≤x≤4时，不等式为4-x+3x-2＞6，∴x＞2，∴2＜x≤4；
x＞4时，不等式为x-4+3x-2＞6，即x＞3，∴x＞4，
综上所述，不等式的解集为{x|x＜0或x＞2}；
（2）令g（x）=f（x）+x=|x-2a|+x=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2a，x≥2a}\\{2a，x＜2a}\end{array}\right.$，
∴g（x）的最小值为2a，
由题意，2a＞5，∴a＞2.5．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．