Question

如图，正方体ABCD-EFGH的棱长为a，点P在AC上，点Q在BG上，AP=BQ=a，求证：PQ⊥AD．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间向量及应用

分析：根据题意，建立空间直角坐标系，求出

AD

与

PQ

的坐标表示，利用

AD

•

PQ

=0证明

AD

⊥

PQ

即可．

解答： 解：建立空间直角坐标系，如图所示；
则D（0，0，0），A（a，0，0），
P（a-

2

2

a，

2

2

a，0），Q（a-

2

2

a，a

2

2

，a）；
∴

AD

=（-a，0，0），

PQ

=（0，a-

2

2

a，

2

2

a），
∴

AD

•

PQ

=-a×0+0×（a-

2

2

a）+0×

2

2

a=0，
∴

AD

⊥

PQ

；
即AD⊥PQ．

点评：本题考查了空间向量的应用问题，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，是基础题．