Question

已知不等式组

x2-4x+3＜0 x2+2x-8＞0

的解集是A，且存在x₀∈A，使得不等式x²-ax+4＞0成立．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）解一元二次不等式求出不等式组的解，即得到集合A；
（Ⅱ）构造函数f（x）=x²-ax+4，求出其最大值，令最大值大于0，求出a 的范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）

x2-4x+3＜0 x2+2x-8＞0

解得

1＜x＜3 x＜-4或x＞2

∴A={x|2＜x＜3}，
（Ⅱ）令f（x）=x²-ax+4，
由题意得x∈A时，f（x）_max＞0，
①当

a

2

≥2.5即a≥5时，f（x）_max=f（2）=8-2a＞0，
∴a＜4（舍去）；
②当

a

2

＜2.5即a＜5时，f（x）_min=f（3）=13-3a＞0，
∴a＜

13

3

，
总之，实数a的取值范围是：a＜

13

3

．

点评：本题考查一元二次不等式的解法；考查 二次函数最值的求法；考查转化的思想，属于一道基础题．