Question

在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且a=3，b=3，cosB=

1

3

．
（Ⅰ）求边c的长度；
（Ⅱ）求cos（B-C）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosB的值代入求出边c的长即可；
（Ⅱ）由cosB的值求出sinB的值，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，确定出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB，
∵a=b=3，cosB=

1

3

，
∴9=9+c²-2c，
解得：c=2（c=0舍去）；
（Ⅱ）在△ABC中，sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

，
由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，得sinC=

csinB

b

=

4 2

9

，
∵a=b＞c，∴C为锐角，
∴cosC=

1-sin2C

=

7

9

，
则cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=

1

3

×

7

9

+

2 2

3

×

4 2

9

=

23

27

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．