Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，且AD=2，AB=AA₁=3，∠BAD=60°，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：AC₁∥平面EB₁C；
（Ⅱ）求直线ED₁与平面EB₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接BC₁，EF，利用三角形的中位线及线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，先求出平面EB₁C的法向量

n

，求出向量

ED1

与

n

的夹角，即可得出线面角的正弦值．

解答：解（Ⅰ） 证明：连接BC₁，B₁C∩BC₁=F，连接EF．
∵AE=EB，FB=FC₁，∴EF∥AC₁
∵AC₁?面EB₁C，EF?面EB₁C
∴AC₁∥面EB₁C．
（Ⅱ）作DH⊥AB，分别令DH，DC，DD₁所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图，
∵∠BAD=60°，AD=2，
∴AH=1，DH=

3

，
∴E(

3

，

1

2

，0)，D₁（0，0，3），C（0，3，0），B1(

3

，2，3)，

ED1

=(-

3

，-

1

2

，3)，

EB1

=(0，

3

2

，3)，

EC

=(-

3

，

5

2

，0)，
设面EB₁C的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n

•

EB1

=0，

n

•

EC

=0，
化简得

3 2 y+3z=0 - 3 x+ 5 2 y=0

，令y=1，则

n

=(

5 3

6

，1，-

1

2

)，
设θ=?

n

，

ED1

＞，则cosθ=

n • ED1

| n |•| ED1 |

=-

9 30

70

设直线ED₁与面EB₁C所成角为α，则sinα=|cosθ|=

9 30

70

．
所以直线ED₁与面EB₁C所成角的正弦值为

9 30

70

．

点评：熟练掌握线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系利用斜线与平面法向量的夹角的方法求线面角的正弦值是解题的关键．