Question

（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，、是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于、的动点，且面积的最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在一定点（），使得当过点的直线与曲线相交于，两点时，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）定点为，定值为.

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的标准方程为（），由于面积的最大值为，可得，联立，解得即可求出；

（2）首先利用特殊位置探究得到定点的坐标与定值，再将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长的公式证明.

试题解析：（1）设椭圆的方程为（），由已知可得①，

∵为椭圆右焦点，∴②，

由①②可得，，

椭圆的方程为；

（2）过点取两条分别垂直于轴和轴的弦，，

则，即，

解得，∴若存在必为，定值为3，

下证满足题意，

设过点的直线方程为，代入中得：，设，，则，，

，综上得定点为，定值为3.

考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆相交弦长问题.