Question

设函数f（x）=x³+x，x∈R．若当0＜θ＜

π

2

时，不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A．（-∞，1]
• B．[1，+∞）
• C．（

  1

  2

  ，1）
• D．（

  1

  2

  ，1]

Answer 1

分析：利用奇函数f（x）=x³+x单调递增的性质，可将不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，转化为msinθ＞m-1恒成立，由0＜θ＜

π

2

，可求得实数m的取值范围．

解答：解：∵f（x）=x³+x，
∴f（-x）=（-x）³+（-x）=-x³-x=-f（x），
∴函数f（x）=x³+x为奇函数；
又f′（x）=3x²+1＞0，
∴函数f（x）=x³+x为R上的单调递增函数．
∴f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立?f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1）恒成立，
∴msinθ＞m-1（0＜θ＜

π

2

）恒成立?m（1-sinθ）＜1恒成立，
由0＜θ＜

π

2

知，0＜sinθ＜1，0＜1-sinθ＜1，

1

1-sinθ

＞1
由m＜

1

1-sinθ

恒成立知：m≤1．
∴实数m的取值范围是（-∞，1]．
故选A．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，突出考查转化思想与恒成立问题，属于中档题．