Question

已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：

(1)对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；

(2)f(1)＝1

(3)若x₁≥0，x₂≥0，x₁＋x₂≤1，则有f(x₁＋x₂)≥f(x₁)＋f(x₂)

(Ⅰ)试求f(0)的值；

(Ⅱ)试求函数f(x)的最大值；

(Ⅲ)试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，都有f(x)≤2x．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)令， 　　依条件(3)可得f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，即f(0)≤0 　　又由条件(1)得f(0)≥0，则f(0)＝0 　　(Ⅱ)任取，可知， 　　则， 　　即，故 　　于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)＝1 　　因此，当x＝1时，f(x)有最大值为1， 　　(Ⅲ)证明： 　　研究①当时，f(x)≤1＜2x 　　②当时， 　　首先，f(2x)≥f(x)＋f(x)＝2f(x)，∴ 　　显然，当时， 　　成立 　　假设当时，有成立，其中k＝1，2，… 　　那么当时， 　　 　　可知对于，总有，其中n＝1，2，… 　　而对于任意，存在正整数n，使得， 　　此时， 　　③当x＝0时，f(0)＝0≤2x 　　综上可知，满足条件的函数f(x)，对x∈[0，1]，总有f(x)≤2x成立