Question

4．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若二次函数满足f（-x）=f（x），f（0）=-$\frac{1}{4}$，f（1）=$\frac{3}{4}$且f（cos$\frac{B}{2}$）=0．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，△ABC的外接圆半径为$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（x）=x²-$\frac{1}{4}$，结合$f（cos\frac{B}{2}）$=0，利用降幂公式可求cosB=-$\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π），可得B的值．
（2）由已知根据正弦定理可求b的值，利用三角形面积公式可求ac=15，根据余弦定理可求a+c=8，即可得解三角形的周长．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由已知易得f（x）=x²-$\frac{1}{4}$，
又$f（cos\frac{B}{2}）$=0，
∴cos²$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{4}$，即$\frac{1+cosB}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴cosB=-$\frac{1}{2}$．
又B∈（0，π），
∴B=$\frac{2π}{3}$．…（6分）
（2）∵△ABC的外接圆半径为$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
∴根据正弦定理$\frac{b}{sinB}$=2R得，$\frac{b}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$，
∴b=7．
又∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，
∴ac=15．
∵在△ABC中，根据余弦定理得，b²=a²+c²-2accos B，即a²+c²-30cos$\frac{2π}{3}$=49，a²+c²=34，
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=64，
∴a+c=8，
∴△ABC的周长等于15．…（12分）

点评 本题主要考查了降幂公式，正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．