Question

13．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（x₀，f（x₀））处与直线y=b相切，求b的值；
（Ⅱ）若任意x∈[$\frac{1}{e}$，e]均使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导函数，利用曲线y=f（x）在点P（x₀，f（x₀））处与直线y=b相切，求b的值；
（Ⅱ）先把不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立转化为a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$成立，设h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$（x＞0），利用导函数求出h（x）在x∈[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，
令f'（x）=0，可得x=$\frac{1}{e}$，
代入f（x）=xlnx，可得b=-$\frac{1}{e}$．
（Ⅱ）由题意知，2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$．
若存在x∈[$\frac{1}{e}$，e]使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，
只需a小于或等于2lnx+x+$\frac{3}{x}$的最大值．
设h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$（x＞0），则h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$．
当x∈[$\frac{1}{e}$，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（1，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．
由h（$\frac{1}{e}$）=-2+$\frac{1}{e}$+3e，h（e）=2+e+$\frac{3}{e}$，
h（$\frac{1}{e}$）-h（e）=2e-$\frac{2}{e}$-4＞0，
可得h（$\frac{1}{e}$）＞h（e）．
所以，当x∈[$\frac{1}{e}$，e]时，h（x）的最大值为h（$\frac{1}{e}$）=-2+$\frac{1}{e}$+3e，
故a≤-2+$\frac{1}{e}$+3e．

点评 本题主要研究利用导数求切线方程以及函数恒成立问题．当a≥h（x）恒成立时，只需要求h（x）的最大值；当a≤h（x）恒成立时，只需要求h（x）的最小值．