Question

3．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f'（x），且当x＞0时，恒有f'（x）xlnx+f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1）∪（1，+∞）
• D． ∅

Answer 1

分析 构造新函数g（x）=f（x）lnx，判断g（x）的单调性可知g（x）=f（x）lnx在x＞0单调递减且g（1）=0．此时在根据x的范围讨论f（x）与0的关系．

解答 解：令g（x）=f（x）lnx，由x＞0时，恒有f'（x）xlnx+f（x）＜0，
得f'（x）lnx+$\frac{f（x）}{x}$＜0，
则g'（x）=f'（x）lnx+$\frac{f（x）}{x}$＜0，
故g（x）=f（x）lnx在x＞0单调递减且g（1）=0．
则当x＞1时，f（x）lnx＜0得f（x）＜0；
当0＜x＜1时，f（x）lnx＞0，得f（x）＜0，故f（x）＞0成立的x的取值范围是∅．
故选：D

点评 本题主要考查了导数研究函数的单调性，构造新函数等知识点，属中等题．