Question

18．如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：
（1）三棱锥A′-BC′D的体积．
（2）若球O₁使得其与三棱锥A′-BC′D的六条棱都相切，三棱锥A′-BC′D外接球为O₂，内切球为O₃，求球O₁，O₂，O₃半径的比值．

Answer 1

分析 （1）利用割补法，求三棱锥A′-BC′D的体积．
（2）分别求出球O₁，O₂，O₃半径，即可求球O₁，O₂，O₃半径的比值．

解答 解：（1）三棱锥A′-BC′D的体积=a³-4×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×a$=$\frac{1}{3}{a}^{3}$；
（2）设三棱锥A′-BC′D的六条棱长为1个单位，则棱锥的高为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，O₂，O₃半径为$\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{12}$，O₂与O₃半径比为3：1，
三棱锥对棱的距离为$\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以球O₁半径为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴球O₁，O₂，O₃半径的比值为$\sqrt{3}$：3：1．

点评 本题考查体积的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．