Question

8．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-（2a+1）x．
（1）当a=1时，求曲线y=g（x）在x=1处的切线的方程；
（2）当a＞0时，讨论函数g（x）的单调性；
（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，其中x₁＜x₂，
证明$\frac{1}{x_2}$＜k＜$\frac{1}{x_1}$．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义即可求解；
（2）先求函数导数，再讨论参数范围确定导数符号即可．
（3）由条件得到不等关系，再进行整体换元转化为一元不等式的证明问题．

解答 解：（1）当a=1时，g（x）=lnx+x²-3x，x＞0，
∴$g′（x）=\frac{1}{x}+2x-3$，
∴g′（1）=0，又g（1）=-2，
∴曲线在x=1处的切线方程为y=-2．
（2）∵$g′（x）=\frac{1}{x}+2ax-（2a+1）$
=$\frac{2a{x}^{2}-（2a+1）x+1}{x}$
=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$=$\frac{2a（x-\frac{1}{2a}）（x-1）}{x}$（x＞0）
∴①当$\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$时，令g'（x）＞0得，$0＜x＜\frac{1}{2a}$或x＞1；
令g'（x）＜0得，$\frac{1}{2a}＜x＜1$．
所以，增区间为$（0\;，\;\frac{1}{2a}）\;，\;（1，+∞）$；减区间为$（\frac{1}{2a}\;，\;1）$；
②当$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$时，令g'（x）＞0得，0＜x＜1或$x＞\frac{1}{2a}$；
令g'（x）＜0得，$\frac{1}{2a}＜x＜1$．
所以，增区间为$（0\;，\;1）\;，\;（\frac{1}{2a}，+∞）$；减区间为$（\frac{1}{2a}\;，\;1）$；
③当$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$时，$g'（x）=\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}＞0$，增区间为（0，+∞）．
综上，当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，增区间为$（0\;，\;1）\;，\;（\frac{1}{2a}，+∞）$；减区间为$（1\;，\;\frac{1}{2a}）$；
当$a=\frac{1}{2}$时，增区间为（0，+∞）；
当$a＞\frac{1}{2}$时，增区间为$（0\;，\;\frac{1}{2a}）\;，\;（1，+∞）$；减区间为$（\frac{1}{2a}\;，\;1）$．
（3）依题，$k=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$，要证  $\frac{1}{x_2}＜k＜\frac{1}{x_1}$，
只要证  $\frac{1}{{x}_{2}}＜\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}＜\frac{1}{{x}_{1}}$，
因为 x₂-x₁＞0，故只要证  $\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{2}}＜ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}＜\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}}$，
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=t$（t＞1），则只需证  $1-\frac{1}{t}＜lnt＜t-1$（t＞1），
令$h（t）=lnt+\frac{1}{t}-1$（t＞1），则$h′（t）=\frac{1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}=\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0，
∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（t）＞h（1）=0，即$lnt＞1-\frac{1}{t}$（t＞1），
同理可证：lnt＜t-1，
综上，$1-\frac{1}{t}＜lnt＜t-1$（t＞1），即$\frac{1}{{x}_{2}}＜k＜\frac{1}{{x}_{1}}$．

点评 本题考查了导数的几何意义和导数在函数中的运用．考查了逻辑思维和运算能力以及转化的思想方法．属于难题．