某卫视推出一档全新益智答题类节目.这档节目打破以往答题类节目的固定模式.每档节目中将会有各种年龄层次.不同身份.性格各异的10位守擂者和1位打擂者参加.以PK的方式获得别人手中的奖品.一旦失败.就将掉下擂台.能否“一站到底成为节目最大悬念．现有一位参赛者已经挑落10人.此时他可以赢得10件奖品离开或者冲击超级大奖“马尔代夫双人游 .冲击超级大奖会有一定的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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9．某卫视推出一档全新益智答题类节目，这档节目打破以往答题类节目的固定模式，每档节目中将会有各种年龄层次，不同身份，性格各异的10位守擂者和1位打擂者参加，以PK的方式获得别人手中的奖品，一旦失败，就将掉下擂台，能否“一站到底”成为节目最大悬念．现有一位参赛者已经挑落10人，此时他可以赢得10件奖品离开或者冲击超级大奖“马尔代夫双人游”，冲击超级大奖会有一定的风险，节目组会精选5道题进行考核，每个问题能正确回答进入下一道，否则失败，此时只能带走5件奖品，若5道题全部答对则可以带走10件奖品且还可以获得超级大奖“马尔代夫双人游”．若这位参赛者答对第1，2，3，4，5道题的概率分别为$\frac{5}{6}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$，且各轮问题能否正确回答互不影响，求：
（Ⅰ）该参赛者选择冲击大奖最终只带走5件奖品的概率；
（Ⅱ）该参赛者在冲击超级大奖的过程中回答问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期望．

分析（I）利用相互对立事件的概率计算公式可得：该参赛者选择冲击大奖最终只带走5件奖品的概率=1-$\frac{5}{6}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$；
（Ⅱ）X的所有能取值分别为：1，2，3，4，5．可得P（X=1）=$1-\frac{5}{6}$=$\frac{1}{6}$，P（X=2）=$\frac{5}{6}$×$（1-\frac{2}{3}）$，P（X=3）=$\frac{5}{6}$×$\frac{2}{3}$×$（1-\frac{1}{2}）$，P（X=4）=$\frac{5}{6}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$（1-\frac{1}{3}）$，P（X=5）=$\frac{5}{6}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×1．

解答解：（I）该参赛者选择冲击大奖最终只带走5件奖品的概率=1-$\frac{5}{6}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{319}{324}$，
（Ⅱ）X的所有能取值分别为：1，2，3，4，5．
则P（X=1）=$1-\frac{5}{6}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=2）=$\frac{5}{6}$×$（1-\frac{2}{3}）$=$\frac{5}{18}$，
P（X=3）=$\frac{5}{6}$×$\frac{2}{3}$×$（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{5}{18}$，
P（X=4）=$\frac{5}{6}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$（1-\frac{1}{3}）$=$\frac{5}{27}$，
P（X=5）=$\frac{5}{6}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×1=$\frac{5}{54}$．
∴随机变量X的分布列期望：

X	1	2	3	4	5
P（X）	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{5}{27}$	$\frac{5}{27}$

期望E（X）=$1×\frac{1}{6}$+2×$\frac{5}{18}$+$3×\frac{5}{18}$+$4×\frac{5}{27}$+5×$\frac{5}{27}$=$\frac{149}{54}$．

点评本题考查了相互对立事件与相互独立事件概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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