Question

已知双曲线两焦点F₁，F₂，其中F₁为y=-

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4

(x+1)2+1的焦点，两点A （-3，2）B （1，2）都在双曲线上，
（1）求点F₁的坐标；
（2）求点F₂的轨迹方程；
（3）若直线y=x+t与F₂的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数t的值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出抛物线x²=-4y的焦点坐标，利用图象平移得到y=-

1

4

(x+1)2+1的焦点坐标；
（2）设出F₂的坐标，结合A，B在双曲线上由双曲线的定义列式求得点F₂的轨迹方程；
（3）联立直线方程和F₂的轨迹方程，化为关于x的一元二次方程后利用判别式等于0求得t的值．

解答： 解：（1）由y=-

1

4

(x+1)2+1，得（x+1）²=-4（y-1），
∵x²=-4y的焦点坐标为（0，-1），
∴（x+1）²=-4（y-1）的焦点坐标为（-1，0），
∴点F₁的坐标为（-1，0）；
（2）设F₂（x，y），则||AF₁|-|AF₂||=||BF₁|-|BF₂||，
即|

(-3+1)2+(2-0)2

-

(-3-x)2+(2-y)2

|=|

(1+1)2+(2-0)2

-

(1-x)2+(2-y)2

|，
整理得：x²+2x+2y²-8y+1=0（x≠-1）；
（3）联立

y=x+t x2+2x+2y2-8y+1=0

，得：3x²+（4t-6）x+2t²-8t+1=0．
△=（4t-6）²-12（2t²-8t+1）=-8t²+48t+24=0，解得：t=3±2

3

．
∴直线y=x+t与F₂的轨迹方程有且只有一个公共点的实数t的取值是3±2

3

．

点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．