Question

已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=3，点M满足2

AM

=

MB

．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）若曲线E的所有弦都不能被直线l：y=k（x-1）垂直平分，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设M（x，y），依题意A（

3x

2

，0），B（0，3y），由此能求出M轨迹E的方程．
（2）设E的弦所在直线方程为y=-

x

k

+m，代入E的方程

x2 4 +y2=1 y=- x k +m

，得（

1

4

+

1

k2

）x²-

2m

k

x+m²-1=0，由此利用根的判别式、韦达定理结合已知条件能求出实数k的取值范围．

解答： 解：（1）设M（x，y），依题意A（

3x

2

，0），B（0，3y），
由|AB|=3，得

9x2

4

+9y²=9，
∴M轨迹E的方程是

x2

4

+y2=1；
（2）设E的弦所在直线方程为y=-

x

k

+m，代入E的方程

x2 4 +y2=1 y=- x k +m

，得（

1

4

+

1

k2

）x²-

2m

k

x+m²-1=0，
△=

4m2

k2

-（1+

4

k2

）（m²-1）
=-（m²-1-

4

k2

）＞0，
m²＜1+

4

k2

，①
设弦的两端为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x1+x2=

2m k

1 4 + 1 k2

=

8km

k2+4

，
弦的中点：x=

4km

k2+4

，y=-

4m

k2+4

+m=

mk2

k2+4

，
这个中点不在直线y=k（x-1）上，
∴

mk2

k2+4

≠k（

4km

k2+4

-1，
mk≠4km-k²-4，
m≠

k2+4

3k

，
m²≠

1

9k2

（k²+4）²，

(k2+4)2

9k2

≥1+

4

k2

，
解得k≥

5

或k≤-

5

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．