Question

13．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，E，F分别是A₁A，C₁C上一点，且AE=CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求证：BE∥平面ADF．

Answer 1

分析 （1）通过证明AD⊥平面B₁BCC₁得出AD⊥B₁F，通过Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁得出B₁F⊥FD，从而B₁F⊥平面ADF；
（2）连EF，EC，设EC∩AF=M，连DM，利用中位线定理得出BE∥DM，从而有BE∥平面ADF．

解答 证明：（1）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC．
∵B₁B⊥底面ABC，AD?底面ABC，
∴AD⊥B₁B．又BC∩B₁B=B，BC，B₁B?平面B₁BCC₁，
∴AD⊥平面B₁BCC₁．∵B₁F?平面B₁BCC₁，
∴AD⊥B₁F．
在矩形B₁BCC₁中，∵C₁F=CD=a，B₁C₁=CF=2a，
∴Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁．
∴∠CFD=∠C₁B₁F．∴∠B₁FD=90°．∴B₁F⊥FD．
又∵AD∩FD=D，AD，FD?平面AFD，
∴B₁F⊥平面AFD．
（2）连EF，EC，设EC∩AF=M，连DM，
∵AE=CF=2a，AE∥CF，
∴四边形AEFC为平行四边形，
∴M为EC中点．又D为BC中点，
∴MD∥BE．又MD?平面ADF，BE?平面ADF，
∴BE∥平面ADF．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，熟练掌握判定定理，构造平行线或垂线是证明的关键．