【题目】已知命题p:x∈[1,2],x2﹣a≥0,命题q:x0∈R,使得x02+(a﹣1)x0﹣1<0,若p∨q为真,p∧q为假,求实数a的取值范围.
【答案】解:若命题p为真,则x∈[1,2],a≤x2 ,
∵x∈[1,2]时,x2≥1,∴a≤1;
若命题q为真,则△=(a﹣1)2﹣4>0,得a<﹣1,或a>3;
∵p∨q为真,p∧q为假
∴p,q中必有一个为真,另一个为假,
若p真q假,则 ,得﹣1≤a≤1;
若p假q真,则 ,得a>3.
故a的取值范围为﹣1≤a≤1,或a>3
【解析】先分别求出命题p,q为真命题时,a的取值范围,然后根据复合函数的真假得到p,q中必有一个为真,另一个为假,分两类求出a的取值范围.
【考点精析】利用命题的真假判断与应用对题目进行判断即可得到答案,需要熟知两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
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【题目】记集合A={(x,y)|x2+y2≤16}和集合B={(x,y)|x+y﹣4≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1 , Ω2 , 若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为 .
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【题目】设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an= ,n∈N* .
(1)求数列{an}的通项;
(2)设 ,求数列{bn}的前n项和Sn .
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【题目】如图,点A,B是单位圆上的两点,A,B两点分别在第一、二象限,点C是圆与x轴正半轴的交点,角∠AOB= ,若点A的坐标为(
,
),记∠COA=α.
(1)求 的值;
(2)求点B的坐标.
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【题目】已知A(x1 , f(x1),B(x2 , f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ<0)图象上的任意两点,且初相φ的终边经过点P(1,﹣
),若|f(x1)﹣f(x2)|=4时,|x1﹣x2|的最小值为
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[0, ]时,求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈[0, ]时,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知等差数列{an}中,a1=﹣2,公差d=3;数列{bn}中,Sn为其前n项和,满足:2nSn+1=2n(n∈N+)
(Ⅰ)记An= ,求数列An的前n项和S;
(Ⅱ)求证:数列{bn}是等比数列;
(Ⅲ)设数列{cn}满足cn=anbn , Tn为数列{cn}的前n项积,若数列{xn}满足x1=c2﹣c1 , 且xn= ,求数列{xn}的最大值.
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【题目】已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;q:方程4x2+4(m﹣2)x+1=0无实根,若“p或q”真“p且q”为假,求m的取值范围.
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【题目】在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+ )an+
.
(1)设bn= ,求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn .
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【题目】如图,某商业中心O有通往正东方向和北偏东30方向的两条街道,某公园P位于商业中心北偏东角(
),且与商业中心O的距离为
公里处,现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A,B两处。
(1)当AB沿正北方向时,试求商业中心到A,B两处的距离和;
(2)若要使商业中心O到A,B两处的距离和最短,请确定A,B的最佳位置。
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