【题目】已知A(x1 , f(x1),B(x2 , f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ<0)图象上的任意两点,且初相φ的终边经过点P(1,﹣
),若|f(x1)﹣f(x2)|=4时,|x1﹣x2|的最小值为
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[0, ]时,求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈[0, ]时,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:∵初相φ的终边经过点P(1,﹣ ),
∴φ为第四象限角,且tanφ= =﹣
,
再结合﹣ <φ<0,可得φ=﹣
.
∵|f(x1)﹣f(x2)|=4时,|x1﹣x2|的最小值为 =
=
,
∴ω=3,函数f(x)=2sin(3x﹣ ).
(2)解:令2kπ﹣ ≤3x﹣
≤2kπ+
,
求得 ﹣
≤x≤
+
,
可得函数的增区间为[ ﹣
,
+
].
再结合x∈[0, ],
可得当x∈[0, ]时函数的增区间为[0,
].
(3)解:∵当x∈[0, ]时,
∴3x﹣ ∈[﹣
,
],
f(x)∈[﹣ ,1],
故 1﹣ 的最大值为1﹣
=
.
不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,
即m≥ =1﹣
恒成立,
∴m≥ .
【解析】(1)由条件利用任意角的三角函数的定义,求得tanφ的值,可得φ的值.(2)由条件利用正弦函数的单调性,求得函数f(x)的单调递增区间.(3)由题意可得f(x)的值域,可得 1﹣ 的最大值,条件即m≥
=1﹣
恒成立,从而求得m的范围.
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【题目】(本小题满分为16分)为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:
,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,国家将给予补偿.
(1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?
(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
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【题目】已知曲线 ﹣
=1与直线y=2x+m有两个交点,则m的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)
B.(﹣4,4)
C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)
D.(﹣3,3)
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【题目】某电视传媒公司为了了解某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图,其中收看时间分组区间是:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60].将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.则抽取的100名观众中“体育迷”有名.
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【题目】已知向量 =(cos2x,
sinx),
=(1,cosx),函数f(x)=2
+m,且当x∈[0,
]时,f(x)的最小值为2.
(1)求m的值,并求f(x)图象的对称轴方程;
(2)设函数g(x)=[f(x)2]﹣f(x),x∈[0, ],求g(x)的最大值.
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【题目】已知命题p:x∈[1,2],x2﹣a≥0,命题q:x0∈R,使得x02+(a﹣1)x0﹣1<0,若p∨q为真,p∧q为假,求实数a的取值范围.
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【题目】(本题满分16分)已知函数,
.
(1)若函数在
上单调递增,求实数
的取值范围;
(2)若直线是函数
图象的切线,求
的最小值;
(3)当时,若
与
的图象有两个交点
,求证:
.(取
为
,取
为
,取
为
)
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【题目】某市政府为了实施政府绩效管理、创新政府公共服务模式、提高公共服务效率.实施了“政府承诺,等你打分”民意调查活动,通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人,统计结果表不幸被污损,如表:
学生 | 在职人员 | 退休人员 | |
满意 | 78 | ||
不满意 | 5 | 12 |
若在所调查人员中随机抽取1人,恰好抽到学生的概率为0.32.
(1)求满意学生的人数;
(2)现用分层抽样的方法在所调查的人员中抽取25人,则在职人员应抽取多少人?
(3)若满意的在职人员为77,则从问卷调查中填写不满意的“学生和在职人员”中选出2人进行访谈,求这2人中包含了两类人员的概率.
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