Question

如图，已知在底面为正方形是四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，M为线段PA
上一动点，E，F分别是线段BC、CD的中点，EF与AC交于点N．
（1）求证：平面PAC⊥平面MEF；
（2）若PC∥平面MEF，试求PM：MA的值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由已知可证明PA⊥EF，由底面ABCD为正方形，E，F分别是线段BC、CD的中点，EF与AC交于点N，可证明AC⊥EF，从而可得EF⊥平面PAC，又EF?平面MEF，即可判定平面PAC⊥平面MEF；
（2）连接MN，由PC∥平面MEF，且MN?平面MEF，MN?平面APC，可得PC∥MN，从而有

PM

MA

=

CN

NA

，设BC=2，则可得EC=1，AC=

8

，EN=

2

2

，CN=

2

2

，从而可求PM：MA的值．

解答： 解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，
∵底面ABCD为正方形，E，F分别是线段BC、CD的中点，EF与AC交于点N．
∴∠ACB=

π

4

，设BC=2，可得EC=1，EN=

2

2

，可解得AC⊥EF，
∴EF⊥平面PAC，
∵EF?平面MEF，
∴平面PAC⊥平面MEF；
（2）连接MN，∵PC∥平面MEF，且MN?平面MEF，MN?平面APC，
∴PC∥MN，
∴

PM

MA

=

CN

NA

，
∵由（1）可得设BC=2，则EC=1，AC=

8

，EN=

2

2

，故CN=

1-( 2 2 )2

=

2

2

，
∴解得：

PM

MA

=

CN

NA

=

2 2

8 - 2 2

=

1

3

．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，熟练应用相关判定定理和性质定理是解题的关键，属于基本知识的考查．