Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-2x．
（1）若函数y=f（x）-g（x）在区间（

1

3

，1）上单调递减，求a的取值范围；
（2）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P、Q两点，过线段PQ的中点作X轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）要使函数y=f（x）-g（x）在区间（

1

3

，1）上单调递减，只要y'≤0恒成立，运用参数分离和配方求函数的最值，即可求a的取值范围；
（2）利用反证法证明设点P、Q的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂．假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行．求出函数的导数，求得切线的斜率，通过构造函数，求导数判断单调性，结论即可得证．

解答： （1）解：∵y=f（x）-g（x）=lnx-（

1

2

ax²-2x），
y'=

1

x

-ax+2，
∴函数y=f（x）-g（x）在区间（

1

3

，1）上单调递减，
则

1

x

-ax+2≤0恒成立，
即ax≥

1

x

+2成立，
∴a≥

1

x2

+

2

x

，
设g（x）=

1

x2

+

2

x

，
则g（x）=（1+

1

x

）²-1，
∵x∈（

1

3

，1），∴

1

x

∈（1，3），
∴g（x）∈（3，15），
∴a≥15；
（2）证明：设点P、Q的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂．
则点M、N的横坐标为x=

x1+x2

2

，
函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-2x．导数f′（x）=

1

x

，g′（x）=ax-2，
则C₁在点M处的切线斜率为k₁=

1

x

，x=

x1+x2

2

，k₁=

2

x1+x2

，
C₂在点N处的切线斜率为k₂=ax-2，x=

x1+x2

2

，k₂=a•

x1+x2

2

-2．
假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，
则k₁=k₂．
即

2

x1+x2

=a•

x1+x2

2

-2，
则

2(x2-x1)

x1+x2

=

a

2

（x₂²-x₁²）-2（x₂-x₁）
=（

a

2

x₂²-2x₂）-（

a

2

x₁²-2x₁）=y₂-y₁=lnx₂-lnx₁．
∴ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

．
设t=

x2

x1

，则lnt=

2(t-1)

1+t

，t＞1①
令r（t）=lnt-

2(t-1)

1+t

，t＞1．
则r′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

．
∵t＞1时，r'（t）＞0，
∴r（t）在[1，+∞）上单调递增．
故r（t）＞r（1）=0．
则lnt＞

2(t-1)

1+t

．这与①矛盾，假设不成立．
故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．

点评：本题主要考查导数的几何意义，考查导数是运算，以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．