Question

定义在R上的偶函数f（x），对任意实数x都有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x²，若在区间
[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得，函数f（x）的图象和直线y=k（x+1）在区间[-1，3]内有4个交点，数形结合求得k的范围．

解答： 解：由题意可得，函数f（x）的周期为2，x∈[0，1]时，f（x）=x²，
而f（x）是偶函数，
∴x∈[-1，1]时，f（x）=x²，
令y=kx+k，
在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点
即函数f（x）的图象和直线y=k（x+1）在区间[-1，3]内有4个交点，
如图所示：
故有 0＜k（3+1）≤1，求得0＜k≤

1

4

，
故答案为：（0，

1

4

]．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．