Question

设函数f（x）=a（x+1）²ln（x+1）+bx，曲线y=f（x）过点（e-1，e²-e+1），且在点（0，0）处的切线方程为y=0．
（1）求a，b的值；
（2）证明：当x≥0时，f（x）≥x²．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由曲线y=f（x）过点（e-1，e²-e+1），代入可得ae²+b（e-1）=e²-e+1．f′（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，由在点（0，0）处的切线方程为y=0．可得a+b=0，联立解出即可．
（2）由（1）可得：f（x）=（x+1）²ln（x+1）-x．当x≥0时，f（x）≥x²．即g（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-x²≥0．x≥0．利用导数研究其单调性极值与最值即可．

解答： （1）解：∵曲线y=f（x）过点（e-1，e²-e+1），∴ae²+b（e-1）=e²-e+1．
f′（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，
∵在点（0，0）处的切线方程为y=0．
∴a+b=0，
联立

a+b=0 ae2+b(e-1)=e2-e+1

，
解得a=1，b=-1．
（2）证明：由（1）可得：f（x）=（x+1）²ln（x+1）-x．当x≥0时，f（x）≥x²．即g（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-x²≥0．x≥0．
g′（x）=2（x+1）（ln（x+1）-

1

2

），
当x＞

e

-1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；当0＜x＜

e

-1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=

e

-1时，g（x）取得极小值即最小值，g(

e

-1)=

1

2

e-(

e

-1)-(e+1-2

e

)=

e

-

1

2

e＞0，
∴g（x）＞0，
∴当x≥0时，f（x）≥x²．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、导数几何意义、切线方程，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．