Question

如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，∠CBD=60°，BC=2．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（Ⅱ）若E是BD的中点，F为线段AC上的动点，EF与平面ABC所成的角记为θ，当tanθ的最大值为

15

2

，求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）直接根据已知条件，利用线线垂直，转化成线面垂直，最后转化出面面垂直．
（Ⅱ）首先建立空间直角坐标系，利用平面的法向量，建立等量关系，最后求出二面角平面角的余弦值．

解答： 证明：（Ⅰ）在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，
所以：AB⊥CD，
又∵BC⊥CD，
∴CD⊥平面ABC，
∵CD?平面ACD，
∴平面ABC⊥平面ACD．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系C-xyz，
则：C（0，0，0），D（2

3

，0，0），B（0，2，0），E（

3

，1，0），
设A（0，2，t），
则：

CF

=λ

CA

=λ(0，2，t)
所以：F（0，2λ，tλ），

EF

=(-

3

，2λ-1，tλ)，
平面ABC的法向量为：

n

=(1，0，0)，
由sinθ=

3

(t2+4)2-4λ+4

由于tanθ的最大值为

15

2

，
则：（t²+4）-4λ+4的最小值为

19

5

．
解得：t=4，
又∵BC⊥CD，AC⊥CD，
所以∠ACB就是二面角A-CD-B的平面角．
cos∠ACB=

BC

AC

=

5

5

．

点评：本题考查的知识要点：面面垂直的判定定理，二面角的应用，空间直角坐标系的应用，法向量的应用．及相关的运算问题．