Question

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A，B两点，点P在线段BA延长线上，T是⊙O₁上一点，PT⊥O₂T，过P的直线交⊙O₁于C，D两点
（1）求证：

PT

PC

=

PD

PT

（2）若⊙O₁与⊙O₂的半径分别为4，3，其圆心距O₁O₂=5，PT=

24 2

5

，求PA的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用切割线定理，即可证明；
（2）证明∠O₁AO₂=90°，再利用切割线定理，即可求解．

解答： （1）证明：∵PT⊥O₂T，
∴PT是⊙O₂的切线，
∴PT²=PA•PB，
∵过P的直线交⊙O₁于C，D两点
∴PC•PD=PA•PB，
∴PT²=PC•PD，
∴

PT

PC

=

PD

PT

；
（2）解：连接O₁A，O₂A，
∵⊙O₁与⊙O₂的半径分别为4，3，其圆心距O₁O₂=5，
∴O₁O₂²=O₁A²+O₂A²，
∴∠O₁AO₂=90°，
设Rt△O₁AO₂斜边长为h，则h=

3×4

5

=

12

5

，AB=2h=

24

5

，
∵PT²=PA•PB，PT=

24 2

5

，
∴PA（PA+

24

5

）=（

24 2

5

）²，
∴PA=

24

5

．

点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，正确运用切割线定理是关键．