Question

已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=

3

，AC=3，若三棱锥D-ABC体积的最大值为

3 3

4

，则球O的表面积为（　　）

• A、36π
• B、16π
• C、12π
• D、

  16

  3

  π

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：确定∠BAC=120°，S_△ABC=

3 3

4

，利用三棱锥D-ABC的体积的最大值为

3 3

4

，可得D到平面ABC的最大距离，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．

解答： 解：设△ABC的外接圆的半径为r，则
∵AB=BC=

3

，AC=3，∴∠BAC=120°，S_△ABC=

3 3

4

，
∴2r=

3

sin120°

=2

3

∵三棱锥D-ABC的体积的最大值为

3 3

4

，
∴D到平面ABC的最大距离为3，
设球的半径为R，则（

3

）²=3×（2R-3），
∴R=2，
∴球O的表面积为4πR²=16π．
故选：B．

点评：本题考查球的半径，考查体积的计算，确定D到平面ABC的最大距离是关键．