Question

O为平行四边形ABCD所在平面上一点，若3|

AB

|=2|

AD

|，

OA

+

OB

=λ（

OC

+

OD

），

OA

=μ（

AB

+2

AC

），则λ的值是（　　）

• A、-

  1

  3

• B、-

  1

  2

• C、-

  2

  3

• D、-1

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，延长AC到点E，使得AE=2AC，以AE，AB为邻边作一个平行四边形ABFE，连接对角线AF．分别取AB，CD的中点N，M．由

OA

+

OB

=λ（

OC

+

OD

），

OA

=μ（

AB

+2

AC

），可知：点O是AF与NM的交点．直线EF与NM相交于点P，直线EF与AD相交与点Q，直线DC与AF相交于点G．可得

ON

=λ

OM

.3|

AB

|=2|

AD

|，不妨设|

AB

|=2，则|

AD

|=3，利用平行四边形的性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理即可得出．

解答： 解：如图所示，
延长AC到点E，使得AE=2AC，以AE，AB为邻边作一个平行四边形ABFE，连接对角线AF．
分别取AB，CD的中点N，M．
由

OA

+

OB

=λ（

OC

+

OD

），

OA

=μ（

AB

+2

AC

），
可知：点O是AF与NM的交点．
直线EF与NM相交于点P，直线EF与AD相交与点Q，直线DC与AF相交于点G．
∵

OA

+

OB

=2

ON

，

OC

+

OD

=2

OM

，
∴

ON

=λ

OM

．
∵3|

AB

|=2|

AD

|，
∴不妨设|

AB

|=2，则|

AD

|=3，
∵点C是线段AE的中点，
∴EQ=4，PQ=1，EP=3．
∴

ON

OP

=

AN

FP

=

1

5

，
∵G为AF的中点，
∴CG=

1

2

EF=1．
∴

OM

OP

=

MG

FP

=

2

5

，
∴

ON

OM

=

1

2

，
∴λ=-

1

2

．
故选：B．

点评：本题考查了向量的平行四边形法则、向量共线定理、平行四边形的性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．