Question

已知函数y=x 

3

2

+x 

1

2

（x＞0）的图象上有一动点P且在该点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,三角函数的图像与性质

分析：求出函数的导数，运用基本不等式可得切线的斜率k≥

3

，再由直线的斜率公式及倾斜角的范围和正切函数的图象和性质，即可得到所求范围．

解答： 解：函数y=x 

3

2

+x 

1

2

（x＞0）的导数为y′=

3

2

x

1

2

+

1

2

x-

1

2

≥2

3 2 x 1 2 • 1 2 x- 1 2

=

3

，
由在该点P处的切线的倾斜角为θ，
即有tanθ≥

3

，
由0≤θ＜π，
即有

π

3

≤θ＜

π

2

．
故答案为：[

π

3

，

π

2

）．

点评：本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，正确求导和运用正切函数的图象和性质是解题的关键．