Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，的4S_n=a_n²+2a_n-3，且a₁、a₂、a₃、a₄…a₁₁成等比数列，当n≥11时，a_n＞0．
（1）求证，当a≥11时，{a_n}为等差数列
（2）求：当n＞10时，{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由4S_n=a_n²+2a_n-3，利用递推式可得：a₁=3或-1．当n≥2时，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，可得a_n=-a_n-1，或a_n-a_n-1=2．由于a₁、a₂、a₃、a₄…a₁₁成等比数列，当n≥11时，a_n＞0．因此当n≤10时，取a_n=-a_n-1；当n≥11时，取a_n-a_n-1=2，必须取a₁=3．
（2）当n≤10时，a_n=3×（-1）^n-1，当n＞10时，a_n=3+2（n-11）=2n-19．利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）证明：∵4S_n=a_n²+2a_n-3，∴当n=1时，4a1=

a

2 1

+2a1-3，解得a₁=3或-1．
当n≥2时，4S_n-1=

a

2 n-1

+2an-1-3，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∴a_n=-a_n-1，或a_n-a_n-1=2．
由于a₁、a₂、a₃、a₄…a₁₁成等比数列，当n≥11时，a_n＞0．
∴当n≤10时，取a_n=-a_n-1；当n≥11时，取a_n-a_n-1=2，必须取a₁=3．
∴当a≥11时，{a_n}为等差数列，首项为3，公差为2．
（2）当n≤10时，a_n=3×（-1）^n-1，
当n＞10时，a_n=3+2（n-11）=2n-19．
{a_n}的前n项和S_n=（3-3+3-3+…+3-3）+3+5+…+（2n-19）
=

(n-10)(3+2n-19)

2

=n²-18n+80．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．