Question

如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，P为以点A为圆心，以AB为半径的圆弧上一点，若

AC

=x

DE

+y

AP

（xy≠0），则以下说法正确的是：

 

  （请将所有正确的命题序号填上）
①若点E和A重合，点P和B重合，则x=-1，y=1；
②若点E是线段AB的中点，则点P是圆弧

DB

的中点；
③若点E和B重合，且点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则x+y=3；
④若点E与B重合，点P为

DB

上任一点，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：数形结合,转化思想,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：以AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，
①，若点E和A重合，点P和B重合，可求得E、P的坐标及向量

DE

=（0，-1），

AP

=（1，0），利用

AC

=x

DE

+y

AP

（xy≠0）及向量的坐标运算可求得x=-1，y=1，从而可判断①；
②，若点E是线段AB的中点，点P是圆弧

DB

的中点，同理可求得

1 2 x+ 2 2 y=1 -x+ 2 2 y=1

，此方程组无解，从而可判断②；
③，若点E和B重合，且点P为靠近D点的圆弧的三等分点，可求得x+y=

3

，可判断③；
④，若点E与B重合，点P（a，b）为

DB

上任一点，

AC

=x

DE

+y

AP

⇒（1，1）=x（1，-1）+y（a，b），利用a²+b²=1可得：

(1-x)2

y2

+

(1+x)2

y2

=1，整理得：

y2

2

-x²=1，
从而可判断④．

解答： 解：以AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，如图，
则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），

AC

=（1，1）．
因为

AC

=x

DE

+y

AP

（xy≠0），
所以，对于①，若点E和A重合，点P和B重合，则E（0，0），P（1，0），

DE

=（0，-1），

AP

=（1，0），

AC

=x

DE

+y

AP

⇒（1，1）=x（0，-1）+y（1，0），即

y=1 x=-1

，故①正确；
则x=-1，y=1；
对于②，若点E是线段AB的中点，则E（

1

2

，0），

DE

=（

1

2

，-1）；若点P是圆弧

DB

的中点，则P（cos45°，sin45°），即P（

2

2

，

2

2

），

AP

=（

2

2

，

2

2

），

AC

=x

DE

+y

AP

⇒（1，1）=x（

1

2

，-1）+y（

2

2

，

2

2

），即

1 2 x+ 2 2 y=1 -x+ 2 2 y=1

，此方程组无解，
故②错误；
对于③，若点E和B重合，则E（1，0），

DE

=（1，-1）；又点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则P（cos60°，sin60°），
即P（

1

2

，

3

2

），

AP

=（

1

2

，

3

2

），

AC

=x

DE

+y

AP

⇒（1，1）=x（1，-1）+y（

1

2

，

3

2

），即

x+ 1 2 y=1 -x+ 3 2 y=1

，解得

x=2- 3 y=2 3 -2

，
则x+y=

3

，故③错误；
对于④，若点E与B重合，则E（1，0），

DE

=（1，-1）；
又点P（a，b）为

DB

上任一点，则

AP

=（a，b）（0≤a≤1，0≤b≤1，a²+b²=1），

AC

=x

DE

+y

AP

⇒（1，1）=x（1，-1）+y（a，b），
即

x+ya=1 -x+yb=1

，由a²+b²=1得：

(1-x)2

y2

+

(1+x)2

y2

=1，整理得：

y2

2

-x²=1，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分，故④正确．
综上所述，说法正确的是①④，
故答案为：①④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查向量的数量积的坐标运算，考查等价转化思想、方程思想与运算求解能力、作图能力，属于难题．