已知C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1.离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.P.Q为其上两动点.A为左顶点.且A到上顶点距离$\sqrt{5}$．(1)求C方程,(2)若PQ过原点.PA.QA与y轴交于M.N.问$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$是否为定值,(3)若PQ� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．已知C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，P、Q为其上两动点，A为左顶点，且A到上顶点距离$\sqrt{5}$．
（1）求C方程；
（2）若PQ过原点，PA、QA与y轴交于M、N，问$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$是否为定值；
（3）若PQ过右焦点，问其斜率为多少时，|PQ|等于短轴长．

分析（1）由题意：离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，A为左顶点，即A（-a，0），且A到上顶点距离$\sqrt{5}$，可得：a²+b²=5．
根据椭圆中a，b，c的关系即可求出a，b的值．可得C方程．
（2）由题意：P、Q为其上两动点，A为左顶点，PQ过原点，根据椭圆的对称性，可知P，Q坐标关于原点对称．设出P的坐标，可得Q的坐标，求出PA、QA的求出方程与y轴交于M、N的坐标，即可得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$．
（3）利用点斜式设出PQ直线方程，利用弦长公式与短轴长建立等式关系求解k的值．

解答解：（1）由题意：离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，A为左顶点，即A（-a，0），且A到上顶点距离$\sqrt{5}$，
可得：a²+b²=5，
又因为a²-b²=c²．
解得：a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$
所以C方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）由题意：P、Q为其上两动点，A为左顶点，PQ过原点，设P（x₁，y₁），根据椭圆的对称性，可知Q
（-x₁，-y₁）
则：${k}_{AP}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，${k}_{QA}=\frac{{y}_{1}}{-2+{x}_{1}}$
可得：直线PA的方程为：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$
直线QA的方程为：$y=\frac{{-y}_{1}}{{2-x}_{1}}$（x+2）
PA、QA的出方程与y轴交于M、N的坐标，
令x=0，解得：M（0，$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），N（0，$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$），
$\overrightarrow{AM}=（2，\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}+2}）$，$\overrightarrow{AN}$=（2，$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$），
那么：$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=4+$\frac{4{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-4}$，
∵${{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=4$
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=5（常数）
所以$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$是定值，其定值为5．
（3）PQ过右焦点，其右焦点F（$\sqrt{3}$，0），
∵k存在，
∴直线PQ方程为y=k（x-$\sqrt{3}$），即$kx-y-k\sqrt{3}=0$
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\\{kx-y-k\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，化简整理：$（4{k}^{2}+1）{x}^{2}-8\sqrt{3}{k}^{2}x+12{k}^{2}-4=0$；
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{12{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$
∵弦长|PQ|等于短轴长．
可得：|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2
解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以当PQ过右焦点，斜率为$±\frac{\sqrt{2}}{2}$时，|PQ|等于短轴长．

点评本题考查了椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系的运用和计算能力，综合性强，计算量大，考查了平面向量的数量积运算，是难题．

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B．

$\frac{π}{4}$

C．

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D．

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A．

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