Question

20．某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．
（1）根据三视图，画出该几何体的直观图（不写画法，但图应虚实分明，颜色勿浅）；
（2）对于该几何体，试求两异面直线AG与CD所成角的大小；
（3）对于该几何体，试求$\frac{{V}_{C-GAB}}{{V}_{P-ABCD}}$的值．

Answer 1

分析 （1）几何体为正四棱锥，做出直观图即可；
（2）利用勾股定理求出棱锥的侧棱长，即可得出∠GAB=30°．

解答 解：（1）该几何体的直观图如图所示：

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∴∠GAB为异面直线AG，CD所成的角，
∵正四棱锥的底面边长为2，高为$\sqrt{2}$，
∴棱锥的侧棱长为$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{2\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=2，
∴△PAB为等边三角形，
∴∠GAB=30°，即异面直线AG与CD所成角为30°．
（3）∵G是PB的中点，∴V_C-GAB=V_G-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC$•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
∴$\frac{{V}_{C-GAB}}{{V}_{P-ABCD}}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了棱锥的三视图，直观图，棱锥的体积计算，属于中档题．