Question

10．已知函数$f（x）=sin（{\frac{π}{2}-x}）sinx-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则f（x）的最小正周期为πf（x）在$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上的值域为[0，1]．

Answer 1

分析 f（x）解析式利用诱导公式，二倍角的正弦、余弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出最小正周期；根据x的范围求出值域即可．

解答 解：f（x）=cosxsinx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵ω=2，∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}$，
∴0≤2x-$\frac{π}{3}$≤π，即0≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，
则f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域为[0，1]，
故答案为：π，[0，1]

点评 此题考查了三角函数中的恒等变换应用，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．