Question

5．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，AM=1，E是AB的中点，
（Ⅰ）求证：EM∥平面NDC
（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使P到AN的距离是P到面MEC的距离的$\sqrt{5}$倍，若存在，求出此时二面角P-EC-D的正切值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）AB∥CD，可得AB∥平面CDN．同理可得：AM∥平面CDN．可得平面AMB∥平面CDN，即可证明AM∥平面CDN．
（2）利用正方形与矩形的性质可得：AB⊥AD，AD⊥AM．再利用面面垂直的性质定理可得：AM⊥AB．如图所示，建立空间直角坐标系．假设在线段AM上存在点P（0，0，t），（0≤t≤1），使P到AN的距离是P到面MEC的距离的$\sqrt{5}$倍．利用S_△APN=$\frac{1}{2}|AP|$•|MN|=$\frac{1}{2}{d}_{P}$•|AN|，可得：P到AN的距离d_P=$\frac{2t}{\sqrt{5}}$．设平面MEC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$，可得点P到面MEC的距离=$\frac{|\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{m}|}$．由$\frac{2t}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$×$\frac{2-2t}{3}$，解得t=$\frac{5}{8}$．设平面PEC的法向量为$\overrightarrow{u}$=（a，b，c），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{EP}=0}\\{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{u}$．取平面DEC的法向量$\overrightarrow{v}$=（0，0，1），可得$cos＜\overrightarrow{u}，\overrightarrow{v}＞$=$\frac{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}$，进而得出．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，CD?平面CDN，AB?平面CDN，∴AB∥平面CDN．
同理可得：AM∥平面CDN．又AB∩AM=A，∴平面AMB∥平面CDN，
∵AM?平面AMB，∴AM∥平面CDN．
（2）解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，ADNM是矩形，
∴AB⊥AD，AD⊥AM．
又平面ADNM⊥平面ABCD，平面ADNM∩平面ABCD=AD，∴AM⊥AB．
如图所示，建立空间直角坐标系．假设在线段AM上存在点P（0，0，t），（0≤t≤1），使P到AN的距离是P到面MEC的距离的$\sqrt{5}$倍．A（0，0，0），
N（0，2，1），B（2，0，0），E（1，0，0），C（2，2，0），M（0，0，1），$\overrightarrow{AN}$=（0，2，1），
∵S_△APN=$\frac{1}{2}|AP|$•|MN|=$\frac{1}{2}{d}_{P}$•|AN|，∴P到AN的距离d_P=$\frac{2t}{\sqrt{5}}$．
$\overrightarrow{EC}$=（1，2，0），$\overrightarrow{EM}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{EP}$=（-1，0，t），
设平面MEC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=0}\\{-x+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（2，-1，2），
∴点P到面MEC的距离=$\frac{|\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|-2+2t|}{\sqrt{9}}$=$\frac{2-2t}{3}$．
∴$\frac{2t}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$×$\frac{2-2t}{3}$，解得t=$\frac{5}{8}$．
∴P$（0，0，\frac{5}{8}）$，设平面PEC的法向量为$\overrightarrow{u}$=（a，b，c），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{EP}=0}\\{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-a+\frac{5}{8}c=0}\\{a+2b=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{u}$=（10，-5，16）．
取平面DEC的法向量$\overrightarrow{v}$=（0，0，1），
则$cos＜\overrightarrow{u}，\overrightarrow{v}＞$=$\frac{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}$=$\frac{16}{\sqrt{1{0}^{2}+{5}^{2}+1{6}^{2}}}$=$\frac{16}{\sqrt{381}}$．
∴sin$＜\overrightarrow{u}，\overrightarrow{v}＞$=$\sqrt{1-（\frac{16}{\sqrt{381}}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{381}}$，
∴$tan＜\overrightarrow{u}，\overrightarrow{v}＞$=$\frac{5\sqrt{5}}{16}$．

点评 本题考查了空间位置关系与空间角及其空间距离、线面面面平行与垂直的判定与性质定理、正方形与矩形的性质、法向量的应用、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力由于计算能力，属于难题．