Question

9．已知以A为圆心的圆（x-2）²+y²=64上有一个动点M，B（-2，0），线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l₁，l₂分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，从而推导出点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，由此能求出E的轨迹方程．
（Ⅱ） 当直线l₁，l₂中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l₁的斜率存在且不为0时，设直线l₁的方程y=k（x-2），联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\end{array}\right.$，整理得（3+4k²）x²-16k²x+16k²-48=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合题意能求出|DE|+|FG|的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，所以PB+PA=PM=8
所以点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，
所以a=4，c=2，$b=2\sqrt{3}$，
所以E的轨迹方程是$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$． …（4分）
（Ⅱ） 当直线l₁，l₂中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，
当直线l₁的斜率存在且不为0时，设直线l₁的方程y=k（x-2），设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\end{array}\right.$，整理得（3+4k²）x²-16k²x+16k²-48=0…（6分）
${x_1}+{x_2}=\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{16{k^2}-48}}{{3+4{k^2}}}$，
所以DE=$\sqrt{（1+{k^2}）{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}$=$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\frac{{24（1+{k^2}）}}{{3+4{k^2}}}$，…（8分）
设直线l₂的方程为$y=-\frac{1}{k}（x-2）$，
所以$|{FG}|=\frac{{24（1+{k^2}）}}{{4+3{k^2}}}$，
所以$|{DE}|+|{FG}|=\frac{{168{{（{k^2}+1）}^2}}}{{（4+3{k^2}）（3+4{k^2}）}}$，…（9分）
设t=k²+1，所以t≥1，所以$|{DE}|+|{FG}|=\frac{168}{{12+\frac{t-1}{t^2}}}$，
因为t≥1，所以0≤$\frac{t-1}{{t}^{2}}$$≤\frac{1}{4}$，所以|DE|+|FG|的取值范围是[$\frac{96}{7}，14$]．…（12分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查两线段长的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、弦长公式、韦达定理的合理运用．