Question

18．设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为x_n，则log₂₀₁₂x₁+log₂₀₁₂x₂+…+log₂₀₁₂x₂₀₁₂的值为（　　）

• A． -log₂₀₁₂2011
• B． -1
• C． -1+log₂₀₁₂2011
• D． 1

Answer 1

分析 由题意可得f′（x）=（n+1）xⁿ，根据导数的几何意义可求切线的斜率k，进而可求切线方程，在方程中，令y=0可得，x_n=$\frac{n}{n+1}$，利用累乘可求x₁x₂…x₂₀₁₁=$\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•…•\frac{2011}{2012}$=$\frac{1}{2012}$，代入可求出答案．

解答 解：对函数f（x）=xⁿ⁺¹求导可得，f′（x）=（n+1）xⁿ ，
∴y=f（x）在点P处的切线斜率K=f′（1）=n+1，
切线方程为y-1=（n+1）（x-1）．
令y=0可得，x_n=$\frac{n}{n+1}$，
∴x₁x₂…x₂₀₁₁=$\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•…•\frac{2011}{2012}$=$\frac{1}{2012}$
∴log₂₀₁₂x₁+log₂₀₁₂x₂+…+log₂₀₁₂x₂₀₁₁=log₂₀₁₂（x₁x₂…x_n）
=log₂₀₁₂$\frac{1}{2012}$=-1．
故选：B．

点评 本题主要考查了导数的几何意义的应用，累乘及对数的运算性质的综合应用，还考查了基本运算的能力，是中档题．