Question

7．在正四棱锥P-ABCD中，所有棱长均等于2$\sqrt{2}$，E，F分别为PD，PB的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值为（　　）

• A． -$\frac{2}{3}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 连结AC，BD，交于点O，连结OP，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与CF所成角的余弦值．

解答 解：连结AC，BD，交于点O，连结OP，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵正四棱锥P-ABCD中，所有棱长均等于2$\sqrt{2}$，E，F分别为PD，PB的中点，
∴OA=OB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2，OP=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2，
∴A（2，0，0），D（0，-2，0），P（0，0，2），B（0，2，0），
E（0，-1，1），F（0，1，1），C（-2，0，0），
$\overrightarrow{AE}$=（-2，-1，1），$\overrightarrow{CF}$=（2，1，1），
设异面直线AE与CF所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}$=$\frac{2}{3}$．
∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．