Question

已知函数f（x）=

3

(sin2x-cos2x)-2sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

3

个单位，再将所得的图象上各点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求g（x）在[-

π

3

，

3π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为-2sin（2x+

π

3

），可得f（x）的最小正周期．再令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，即可
得到f（x）的单调递增区间．
（2）第一次变换可得y=2sin2x的图象，再经过第二次变换可得y=2sin

1

2

x的图象，故g（x）=2sin

1

2

x．根据x的范围求得sin

1

2

x的范围，从而求得g（x）的值域．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

3

(sin2x-cos2x)-2sinxcosx=-

3

cos2x-sin2x=-2sin（2x+

π

3

），
∴f（x）的最小正周期为

2π

2

=π．
令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得 kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈z，
故f（x）的单调递增区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈z．
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

3

个单位，可得函数y=-2sin[2（x+

π

3

）+

π

3

]=2sin2x的图象，
再将所得的图象上各点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到y=2sin

1

2

x的图象，故g（x）=2sin

1

2

x．
∵-

π

3

≤x≤

3π

2

，∴-

π

6

≤

1

2

x≤

3π

4

，∴-

1

2

≤sin

1

2

x≤1，
∴g（x）的值域为[-1，2]．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式、诱导公式、二倍角公式的应用，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．