Question

已知函数f（x）=|2x-a|+a，a∈R，g（x）=|2x-1|．
（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；
（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由g（x）≤5求得-2≤x≤3；由f（x）≤6可得a-3≤x≤3．根据题意可得，a-3≤-2，求得a≤1，得出结论．
（Ⅱ）根据题意可得f（x）+g（x）≥|a-1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，可得|a-1|+a≥3 由此求得所求的a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当g（x）≤5时，|2x-1|≤5，求得-5≤2x-1≤5，即-2≤x≤3．
由f（x）≤6可得|2x-a|≤6-a，即 a-6≤2x-a≤6-a，即a-3≤x≤3．
根据题意可得，a-3≤-2，求得a≤1，故a的最大值为1．
（Ⅱ）∵当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x-a|+|2x-1|+a≥|2x-a-2x+1|+a≥|a-1|+a，
f（x）+g（x）≥3恒成立，∴|a-1|+a≥3，∴a≥3，或

a＜3 (a-1)2≥(3-a)2

．
求得a≥3，或 2≤a＜3，即所求的a的范围是[2，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．