Question

已知函数f（x）=x²的图象在点A（x₁，f（x₁））与点B（x₂，f（x₂））处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是（　　）

• A、（-

  3

  2

  ，3）
• B、（0，-4）
• C、（2，3）
• D、（1，-

  1

  4

  ）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：由已知函数解析式求得A，B的坐标，求出原函数的导函数，得到函数在A，B两点出的导数值，由图象在点A（x₁，f（x₁））与点B（x₂，f（x₂））处的切线互相垂直得到x1x2=-

1

4

，由点斜式写出过A，B两点的切线方程，通过整体运算求得y=x1x2=-

1

4

，即P点纵坐标为-

1

4

，然后逐一核对四个选项可得答案．

解答： 解：由题意可知，A(x1，x12)，B(x2，x22) （x₁≠x₂），
由f（x）=x²，得f′（x）=2x，
则过A，B两点的切线斜率k₁=2x₁，k₂=2x₂，
又切线互相垂直，
∴k₁k₂=-1，即x1x2=-

1

4

．
两条切线方程分别为l1：y=2x1x-x12，l2：y=2x2x-x22，
联立得（x₁-x₂）[2x-（x₁+x₂）]=0，
∴2x-（x₁+x₂）=0，x=

x1+x2

2

．
代入l₁得，y=x1x2=-

1

4

，
结合已知选项可知，P点坐标可能是D．
故选：D．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值，考查了整体运算思想方法，是中档题．