Question

6．在ABC中，角A，B，C所对边为a，b，c，若$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b}{cosB}$=$\frac{c}{cosC}$，则△ABC是等边三角形．

Answer 1

分析 由已知可得：a=$\frac{bcosA}{cosB}$，又由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$，从而$\frac{bcosA}{cosB}$=$\frac{bsinA}{sinB}$，整理可得bsin（B-A）=0，结合A，B的范围可得B=A，同理解得：B=C，从而得解．

解答 解：∵$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b}{cosB}$，可得：a=$\frac{bcosA}{cosB}$，
又∵由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$，
∴$\frac{bcosA}{cosB}$=$\frac{bsinA}{sinB}$，整理可得：bcosAsinB-bsinAcosB=bsin（B-A）=0，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，解得-π＜B-A＜π，
∴解得B-A=0，即B=A，
同理解得：B=C，
故三角形为等边三角形．
故答案为：等边．

点评 本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质的应用，熟练掌握正弦定理和正弦函数的图象和性质是解题的关键，属于基础题．