Question

【题目】设函数f（x）= ，g（x）=a（x+b）（0＜a≤1，b≤0）．
（1）讨论函数y=f（x）g（x）的奇偶性；
（2）当b=0时，判断函数y= 在（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；
（3）设h（x）=|af2（x）﹣ |，若h（x）的最大值为2，求a+b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）【解答】解：函数f（x）= ，g（x）=a（x+b）（0＜a≤1，b≤0）．

可得y=f（x）g（x）=a（x+b） ，

①当b=0时，f（x）g（x）=ax ，﹣1≤x≤1，

由f（﹣x）g（﹣x）=﹣ax =﹣f（x）g（x），

则函数y=f（x）g（x）为奇函数；

②当b＜0时，f（x）g（x）=a（x+b） ，﹣1≤x≤1，

由f（﹣ ）g（﹣ ）=a（﹣ +b） ，f（ ）g（ ）=a（ +b） ，

可得f（﹣ ）g（﹣ ）≠﹣f（ ）g（ ），且f（﹣ ）g（﹣ ）≠f（ ）g（ ），

则函数y=f（x）g（x）为非奇非偶函数；

（2）【解答】解：当b=0时，函数y= = 在（﹣1，1）递增．

理由：任取x1，x2，且﹣1＜x1＜x2＜1，

可得1+x1x2＞0，（1﹣x12）（1﹣x22）＞0，

则y1﹣y2= ﹣ = ＜0，

可得y1＜y2，

即函数y= = 在（﹣1，1）递增．

（3）【解答】解：h（x）=|af2（x）﹣ |=|﹣ax2﹣x+a﹣b|，对称轴为x=﹣ ≤﹣ ，

①当﹣1≤﹣ ≤﹣ ，即 ≤a≤1时，

h（1）=|1+b|，h（﹣1）=|1﹣b|=1﹣b，h（﹣ ）=a+ ﹣b，

h（x）max=max{h（1），h（﹣1），h（﹣ ）}，

a+ ﹣b在 ≤a≤1时递增，可得a+ ﹣b∈[1﹣b， ﹣b]，

即有h（x）max=a+ ﹣b=2，

可得a+b=2a+ ﹣2在 ≤a≤1递增，可得

a+b∈[﹣ ， ]；

②﹣ ＜﹣1，即0＜a＜ 时，

h（x）max=max{h（1），h（﹣1）}=1﹣b=2，即b=﹣1，

可得a+b=a﹣1∈（﹣1，﹣ ）．

综上可得，a+b∈（﹣1，﹣ ]．

【解析】（1）函数y=f（x）g（x）讨论b=0，b＜0利用奇偶性的定义进行判断；
（2）当b=0时，函数y= 在（﹣1，1）递增,再利用单调性定义证明；
（3）h（x）=|af2（x）﹣ g ( x ) a |=|﹣ax2﹣x+a﹣b|，对称轴为x=﹣ 1 2 a ≤﹣ 1 2 ，讨论对称轴①当﹣1≤﹣ ≤﹣ ②﹣ ＜﹣1，分别求出端点处的函数值和顶点处的函数值，比较可得最大值，再由对勾函数的单调性和一次函数的单调性，即可求出范围。
【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义和函数的奇偶性，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称即可以解答此题．