Question

8．已知AB⊥AC，AB=AC，点M满足$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}+（{1-t}）\overrightarrow{AC}$，若$∠BAM=\frac{π}{3}$，则t的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}-\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}-1$
• C． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$

Answer 1

分析 如图所示，建立直角坐标系．A（0，0）．不妨设C（3，0），B（0，3），由点M满足$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}+（{1-t}）\overrightarrow{AC}$，可得点M在BC上．设|AM|=a，则acos$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$a=3，解得a．可得M坐标．利用点M满足$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}+（{1-t}）\overrightarrow{AC}$，向量相等即可得出．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系．A（0，0）．
不妨设C（3，0），B（0，3），
∵点M满足$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}+（{1-t}）\overrightarrow{AC}$，∴点M在BC上．
设|AM|=a，则acos$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$a=3，解得a=3$\sqrt{3}$-3．
∴M$（\frac{9-3\sqrt{3}}{2}，\frac{3\sqrt{3}-3}{2}）$．
∵点M满足$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}+（{1-t}）\overrightarrow{AC}$，
∴$\frac{9-3\sqrt{3}}{2}$=0+（1-t）×3，解得t=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．