Question

18．设函数f（x）=|x-a|+|2x+2|-5（a∈R）．
（Ⅰ）试比较f（-1）与f（a）的大小；
（Ⅱ）当a≥-1时，若函数f（x）的图象和x轴围成一个三角形，则实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）l利用作差法求解f（a）-f（-1）与0的大小关系推出结果．
（II）通过①a=-1时，②当a≥-1时，化简函数的表达式，利用第一问的结果转化求解即可．

解答 解：（I）因为f（a）-f（-1）=|2a+2|-5-（|a+1|-5）=|a+1|≥0，于是f（a）≥f（-1）．
当且仅当a=-1时时等号成立；
（II）①a=-1时，f（x）=3|x+1|-5满足题意，
②当a≥-1时，$f（x）=|{x-a}|+|{2x+2}|-5=\left\{\begin{array}{l}3x-a-3，x≥a\\ x+a-3，-1≤x＜a\\-3x+a-7，x＜-1\end{array}\right.$
由（I）可知f（a）＞f（-1），此时函数f（x）的图象和x轴围成一个三角形等价于$\left\{\begin{array}{l}f（a）=2a-3≥0\\ f（{-1}）=a-4＜0\end{array}\right.$，解得$a∈[{\frac{3}{2}，4}）$，
综上知a的取值范围是$a∈[{\frac{3}{2}，4}）∪\left\{{-1}\right\}$．

点评 本题考查函数与方程的应用，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．