Question

3．已知数列{a_n}是首项${a_1}=\frac{1}{3}$，公比$q=\frac{1}{3}$的等比数列．设${b_n}=2{log_{\frac{1}{3}}}{a_n}-1$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）设c_n=a_n+b_2n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出等比数列的通项公式，代入${b_n}=2{log_{\frac{1}{3}}}{a_n}-1$可得数列{b_n}的通项公式，由等差数列的定义证明数列{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）把数列{a_n}、{b_n}的通项公式代入c_n=a_n+b_2n，分组后再由等差数列与等比数列的前n项和求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 （Ⅰ）证明：∵数列{a_n}是首项${a_1}=\frac{1}{3}$，公比$q=\frac{1}{3}$的等比数列，
∴${a}_{n}=（\frac{1}{3}）^{n}$，则${b_n}=2{log_{\frac{1}{3}}}{a_n}-1$=$2lo{g}_{\frac{1}{3}}（\frac{1}{3}）^{n}-1=2n-1$．
∴b_n+1-b_n=[2（n+1）-1]-（2n-1）=2．
则数列{b_n}是以2为公差的等差数列；
（Ⅱ）解：c_n=a_n+b_2n=$（\frac{1}{3}）^{n}+（4n-1）$．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=c₁+c₂+…+c_n=[$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$]+4（1+2+…+n）-n
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}+4•\frac{（n+1）n}{2}-n$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）+2{n}^{2}+n$=$2{n}^{2}+n+\frac{1}{2}-\frac{1}{2•{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了数列的分组求和及等差数列与等比数列的前n项和的求法，是中档题．