Question

11．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-（{x+1}）•{e^x}，x≤a\\-2x-1，x＞a\end{array}$有最大值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[{-\frac{1}{2}-\frac{1}{{2{e^2}}}，+∞}）$
• B． $[{-\frac{1}{{2{e^2}}}，+∞}）$
• C． [-2，+∞）
• D． $（{-2，-\frac{1}{2}-\frac{1}{{2{e^2}}}}]$

Answer 1

分析 由x＞a时，f（x）=-2x-1递减，且无最大值，可得x≤a时，f（x）取得最大值M，且M≥-2a-1，求出x≤a时，f（x）的导数和单调区间、极大值，讨论a＜-2，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则a≥-2，求出最大值，解不等式即可得到所求a的范围．

解答 解：由x＞a时，f（x）=-2x-1递减，可得f（x）＜-2a-1，无最大值，
函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-（{x+1}）•{e^x}，x≤a\\-2x-1，x＞a\end{array}$有最大值，
可得x≤a时，f（x）取得最大值M，且M≥-2a-1，
由f（x）=-（x+1）•e^x的导数为f′（x）=-（x+2）e^x，
可得x＞-2时，f′（x）＜0，f（x）递减；x＜-2时，f′（x）＞0，f（x）递增．
即有f（x）在x=-2处取得极大值，且为最大值e^-2．
若a＜-2，则f（x）在（-∞，a]递增，可得f（x）≤f（a）=-（a+1）•e^a，
由题意可得-（a+1）•e^a≥-2a-1，
即有（a+1）•e^a-2a-1≤0，
由g（a）=（a+1）•e^a-2a-1的导数为g′（a）=（a+2）•e^a-2＜0，（a＜-2），
则g（a）在a＜-2递减，可得g（a）＞g（-2）=-e^-2+3＞0，
则不等式（a+1）•e^a-2a-1≤0无实数解．
故a≥-2，可得x=-2处f（x）取得最大值，且为-e^-2，
由-e^-2≥-2a-1，
解得a≥-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{e}^{2}}$，
综上可得，a的范围是[-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{e}^{2}}$，+∞）．
故选：A．

点评 本题考查分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．