Question

19．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=2，b=3，∠C=2∠A．
（I）求c的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由已知及二倍角的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理可得c=2acosA=2a•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，整理可得bc²=a（b²+c²-a²），代入a，b的值即可计算得解．
（Ⅱ）由余弦定理可求cosC，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）∵∠C=2∠A，a=2，b=3，
∴sinC=sin2A=2sinAcosA，
∵在△ABC中，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{c}{2sinAcosA}$，
∴可得c=2acosA=2a•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，可得：bc²=a（b²+c²-a²），即：9=2（9+c²-4），
∴解得：c=$\sqrt{10}$…6分
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{4}$，可得sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$…12分

点评 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．