Question

10．已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y=2相切，且圆心C在直线2x+y-1=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由圆C的圆心经过直线2x+y-1=0上，可设圆心为C（a，1-2a）．由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y=2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可．
（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论．

解答 解：（1）因为圆心C在直线2x+y-1=0上，可设圆心为C（a，1-2a）．
则点C到直线x+y=2的距离d=$\frac{|-a-1|}{\sqrt{2}}$．
据题意，d=|AC|，则$\frac{|-a-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{（a-2）^{2}+（1-2a）^{2}}$，
解得a=1．
所以圆心为C（1，-1），半径r=d=$\sqrt{2}$，
则所求圆的方程是（x-1）²+（y+1）²=2．
（2）k不存在时，x=0符合题意；
k存在时，设直线方程为kx-y+1=0，圆心到直线的距离$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=-$\frac{3}{4}$，
∴直线方程为3x+4y-4=0．
综上所述，直线方程为x=0或3x+4y-4=0．

点评 此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．