Question

5．已知点P（x，y）满足x²+y²＜2，则满足到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离d∈[1，3]的点P概率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}+\frac{π}{2}$
• B． $\frac{1}{2}-\frac{π}{2}$
• C． $\frac{1}{4}-\frac{1}{2π}$
• D． $\frac{1}{4}+\frac{1}{2π}$

Answer 1

分析 根据平行线的距离公式求出满足条件．的直线对应的区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行求解即可．

解答 解：设与直线x-y+2$\sqrt{2}$=0平行的直线方程为x-y+c=0，
若两平行直线的距离d=1，则d=$\frac{丨2\sqrt{2}-c丨}{\sqrt{2}}$=1，
解得c=$\sqrt{2}$或c=3$\sqrt{2}$，此时直线方程为x-y+$\sqrt{2}$=0或x-y+3$\sqrt{2}$=0，
圆心O，若两平行直线的距离d=3，则d=$\frac{丨2\sqrt{2}-c丨}{\sqrt{2}}$=3，
解得c=-$\sqrt{2}$或c=5$\sqrt{2}$，
∴直线方程为x-y-$\sqrt{2}$=0或x-y+5$\sqrt{2}$=0，
若满足到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离d∈[1，3]的点P，
则P对应的区域为阴影部分，
则第二象限，三角形OAB的面积S=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$=1，则第二象限内弓型的面积S=$\frac{1}{4}$•π（$\sqrt{2}$）²-1=$\frac{π}{2}$-1，
则阴影部分的面积为2π-2（$\frac{π}{2}$-1）=π+2，
则满足到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离d∈[1，3]的点P概率为$\frac{π+2}{2π}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{π}{2}$，
故选A．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，利用平行线的距离公式，结合对应区域的面积是解决本题的关键，属于中档题．